Wie ermittelt man den Schnittpunkt?

April 23rd, 2012

Ti
Erstelle da mal einen Graph zu…

St
Das Intervall schränkt die Suche ein, da der Cosinus und Sinus als periodische Funktionen sich unendlich oft schneiden.

Zunächst muss das Problem umformuliert werden:
sin(x)=cos(x) | :cos(x)
<=> 1 = tan(x) (= sin(x)/cos(x) …zur Erinnerung)
Die Umkehrfunktion des Tangens bilden, wobei diese im Intervall [-pi/2;pi/2] gilt:
=> x = tan^-1 (1) = 0,78539…
für x = 0,78539 haben sin(x) und cos(x) den gleichen Funktionswert f(x=0,78539) = g(x=0,78539) = 0,7071067, der sich im Intervall ziwschen 0 und pi befindet.

Numerisch kann dieses Problem natürlich auch gelöst werden.
Das Newton Verfahren bietet sich hier an: x_n+1 = x_n – h(x_n)/h’(x_n)
Hier muss zunächst wieder die Gleichung umgeformt werden zu h(x) = tan(x) – 1 und die erste Ableitung gebildet werden.
Als Startwert x_0 kann man z.B. 1 verwenden.

Für weitere Infomrationen zu diesem Verfahren ist folgender Link hilfreich:

http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

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