Exponentialgleichung?

July 19th, 2010

2 e^x – 0,5 e^3x = 0

Ersetze e^x durch z.B. z
=> 2z – 0,5*z³ = 0
z*(2 – 0,5*z²) = 0

=> z1 = 0 => e^x = 0 nicht möglich
=> 2 – 0,5*z² = 0
z² = 4
z = +- 2
z2 = -2 => e^x = -2 nicht möglich
z3 = 2 => e^x = 2 => x = ln2 (beide Seiten logarithmieren)
also die einzige Lösung x = ln2 = 0,6931…

Zur 2. Gleichung: e^(-0,5x) + 2 = 2*(1 + e^x)
e^(-0,5x) + 2 = 2 + 2*e^x
e^(-0,5x) = 2*e^x
Nun substituieren wir wieder: z = e^x
Da e^(-0,5x) = (e^x)^(-0,5) = z^(-0,5) = 1/Wurzel(z)
=> 1/Wurzel(z) = 2z |²
1/z = 4z²
1 = 4z³
z³ = 1/4 = 0,25
z = 3.Wurzel(0,25) = 0,62996….
e^x = 0,62996..
x = ln(0,62996..)
x = -0,462098…

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  1. Os

    Hallo

    2e^x -0,5e^(3x) = 0

    2e^x = 0,5e^(3x) –> beide Seiten logarithmieren:

    x+ ln2 = 3x + ln0,5

    -2x = ln0,5 – ln2

    -2x = – 0,693 – 0,693

    - 2x = – 1,3862

    x = 0,693

    (Eigentlich ist es so: z.B. 2e^x ist zur Basis e logarithmiert ln2 + lne*x, aber lne = 1. Deshalb benutzt man den natürlichen Logarithmus ln, wenn man e^x hat.)

    Gruss

    2) Aufgabe:

    e^(-0,5x) +2 = 2(1 + e^x)

    e^(-0,5x) + 2 = 2 + 2e^x

    e^(-0,5x) = 2e^x—-> logarithmieren

    - 0,5x = ln2 + x

    - 1,5x = ln2

    x = – ln2/1,5

    x = – 0,462

    Kontrolle:

    e^(-(-0,462/2)) + 2 = 2(1 + e^(- 0,462)

    e^0,231 + 2 = 2(1+ e^(- 0,462)

    1,2598 + 2 = 2( 1 + 0,63)

    3,2598 = 2(1,63)

    3,2598 = 3,2598–> stimmt!

    Wie dein TR auf 0,35 kommt weiss ich leider nicht.
    Siehe deshalb auch hier die Lösung von Wolfram alpha:

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28-0.5x%29+%2B+2+%3D+2*%281+%2B+e%5Ex%29

    Nochmal Gruss

  2. ma

    2 e^x – 0,5 e^3x = 0

    Ersetze e^x durch z.B. z
    => 2z – 0,5*z³ = 0
    z*(2 – 0,5*z²) = 0

    => z1 = 0 => e^x = 0 nicht möglich
    => 2 – 0,5*z² = 0
    z² = 4
    z = +- 2
    z2 = -2 => e^x = -2 nicht möglich
    z3 = 2 => e^x = 2 => x = ln2 (beide Seiten logarithmieren)
    also die einzige Lösung x = ln2 = 0,6931…

    Zur 2. Gleichung: e^(-0,5x) + 2 = 2*(1 + e^x)
    e^(-0,5x) + 2 = 2 + 2*e^x
    e^(-0,5x) = 2*e^x
    Nun substituieren wir wieder: z = e^x
    Da e^(-0,5x) = (e^x)^(-0,5) = z^(-0,5) = 1/Wurzel(z)
    => 1/Wurzel(z) = 2z |²
    1/z = 4z²
    1 = 4z³
    z³ = 1/4 = 0,25
    z = 3.Wurzel(0,25) = 0,62996….
    e^x = 0,62996..
    x = ln(0,62996..)
    x = -0,462098…

  3. Sc

    Du musst die Funktion aufteilen, da sie doppelt linear ist.

    X-Achse ist der Datentransfer, Y-Achse sind die Kosten.

    Zwischen 0 und 10 GB verläuft eine Gerade, die genau Horizontal ist (Punkte 24,60;0 und 24,60;10), danach kommt eine zweite Gerade, welche den Punkt 24,60;10 schneidet, mit der Steigung 0,23

    Da es jeweils lineare Geraden sind, dh eine Funktion 1. Grades, abhängig von x und nicht x^2 oder höherwertig, gibt es weder Sattel – noch Wendepunkte.

    Eine einfache lineare Funktion ist nicht möglich, da du keine Kosten einsparst, wenn deine Datentransferrate unterhalb der 10 GB bleibt.

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